Ganzzahlige pythagoräische Tripel

Im Halbdunkel unserer Gymnasialtage verliert sich der Satz des Pythagoras: Im rechtwinligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich der Summe des Hypothenusenquadrats. Welch dunkler Rätselspruch für den Unkundigen! Als Formel geschrieben a² + b²= c² Kennen wir a und b, können wir c daraus berechnen, indem wir die Quadratwurzel von a²+b² berechnen, wie der Computer es mag als c^2 = SQR(a^2 + b^2). Die drei so verbundenen Zahlen a,b,c bilden ein Tripel, das heißt: eine geordnete Menge aus drei Zahlen. Selbst wenn wir für a und b ganze Zahlen wählen, kommt selten ein ganzzahliges c heraus. Versuchen wir es mit a = 5 und b = 10, dann ergibt sich c mit 11,1803309875 keine schöne runde Zahl. Probieren Sie ruhig mal eine Weile, ob Sie mehr Glück haben! Und doch gibt es ein paar Treffer wie 3, 4, 5 auf dem Bild oder 8, 6, 10. Ganz Gescheite kommen auf 0²+1²=1². Diese schlichte Gleichung ist der Stammvater aller anderen und daraus erwächst ein dreigliedrig verzweigter Stammbaum, trichotom sozusagen, einem ternären Zahlensystem entsprechend, mit unendlich vielen ganzzahligen pythagoräischen Tripeln. Aus jeder Gleichung wachsen drei neue heraus, von jeder kann man das Geäst in drei Richtungen fortsetzen: geradeaus, schräg nach links oder schräg nach rechts .

Diesen schönen Riesenbaum und die Formeln nach denen er sich aufbaut, hat Klaus Jürgen Düsing in Bild der Wissenschaft 9 (1984), S.151 -165, vorgestellt. Ich habe weiter nichts getan, als diese Formeln in ein kleines DOS-Programm umzusetzen. Sie können es hier gleich runterladen und so wie als .exe ist, gleich laufen lassen. Nach einem ersten geraden Schritt, gleichsam dem Baumstamm entsprechend, von 0²+1²=1² zu 3²+4²=5² geben Sie einen Zickzackkurs durch die Zweige vor, gerade (G), links (L) und rechts (R) in beliebigem Wechsel, etwa LRLGGR. In diesem Falle gelangen Sie dabei zuletzt zu dem stattlichen Tripel 5355, 11092, 12317. Mit P können Sie jederzeit die Probe machen. ob a²+b²  c² ergibt.
Allerdings geht der Spaß nicht endlos gut: Um die zehnte "Generation" treten merkwürdige oder unmögliche Dinge auf: der Computer meldet Überlauf - das mag entschuldbar sein, wenn der "Stammbaum" nahezu 90 000 Gleichungen enthält - oder bei der Probe liefert das Quadrieren negative Zahlen, was man sonst selten sieht.

Das Auffinden ganzzahliger Tripel ist auch auf andere Weise, mittels diophantischer Gleichungen möglich.

Zum Menü Varia

Zum Stichwortverzeichnis

Letzte inhaltliche Änderung am 6.8.01.