Wir wollen die verschiedenen Möglichgeiten durchgehen.
a = r Unverkürzte (spitze) Epizykloiden:
R = r Leit- und Rollkreis gleich groß
Dreht man die Figur 90° nach links. dann versteht man ihren Namen Herzkurve oder Kardioide. Sie hat eine Spitze.
R : r ganzzahlig
Die Kurve schließt sich nach einem Umlauf. Die Zahl der Spitzen entspricht (auch hier) R/r:
Ist R = 2r so ensteht eine Nephroide -wie sich ein Mathematiker eine Niere vorstellen - ähnlich einer Kardioide, die auch auf der gegenüberliegenden Seite ein spitze Einziehung hat.
R : r gebrochen rational
Hier erfolgt eine Deckung erst nach r Umläufen. Im folgenden Bild ist R : r = 5 : 3.
R : r irrational
Es kommt es zu unendlich vielen geschlossenen Bögen, wenn man lange genug zeichnen läßt. Die folgende Figur zeigt die ersten 11 Bögen von : r
a < > r Trochoiden
Da es sich um Epizykloiden handelt, sind es Epitrochoiden
a < r Verkürzte Epitrochoiden
Wie bei den fortlaufenden Zykloiden sind die Spitzen zu Bögen abgeflacht. Als Beispiel diene eine gleichsam abgeflachte Kardioide mit a = 2/3 r :
a > r Verlängerte Epitrochoiden
Wie bei den fortlaufenden Zykloiden treten Schlingen auf, weil drehwinkelabhängig der eine Ordinaten- bzw. Abszissenwert zweimal durchlaufen wird :
Eine vertikale Hälfte dieser Trochoide (R = 2r; a=2/3r), die zugleich eine verlängerte Nephroide (s.o.) darstellt, kann man sich als Brennfläche (Katakaustik) in jeder Tasse ansehen.
Bei den Hypozykloiden macht das Verhältnis von R zu r einen großen und oft unerwarteten Unterschied.
R = r
Wenn der Rollkreis so groß ist wie der Leitkreis, füllt er ihn völlig aus und kann in ihm nicht abrollen, könnte sich bestenfalls konzentrisch um den gemeinsamen Mittelpunkt drehen. Gezeichnet würde dann ein Kreis vom Radius a. Aber die Mathematiker sagen, eine solche Zykloide sei nicht definiert.
R = 2 r.
a = r
Als Zykloide wird der horizontale Durchmesser des Leitkreises gezeichnet.
a < > r
Jetzt entstehen horizontal liegende Ellipsen mit r + a als großer und r - a als kleiner Halbachse.
R = 3r
Es entsteht ein Dreieck mit eingebogenen konkaven Seiten, die dreispitzige Hypozykloide oder Steinersche Kurve.
Ist a < r, dann sind die Ecken abgerundet und verkürzt, ist a > r, dann ragen die entstehenden Schleifen über die über den Rollkreis hinaus (Bild).
R = 4r
Das gezeichnete Viereck hat konkave Seiten (Bild). Auch hier hat Nichtübereinstimmung von a und r die bekannten Folgen: verkürzt und abgerundet bzw. verlängerte Schleife.
R = 5r
Die Hypozykloide hat die zu erwartende fünfzackige Form und braucht nicht näher beschrieben zu werden. Auch die Verkürzung (Bild!) bzw. Verlängerung von a hat die zu erwartende Auswirkung.
Resumo en Esperanto:
Iu cirklo rulas sur linio, kaj punkto sur ^gia faco desegnas figuron dum la movado. Oni imagu, ke rado kun lampeto ie sur ghi ruli^gas en malhela nokto. La desegnitan figuron oni nomas cikloido. Se la desegnanta punkto sidas sur la periferio, oni vidas arkojn kun pinto sur la rekta linio (de la veturata vojo). Se la punkto estas ie sur la faco de la rado, tiam la kurba linio ne atingas la rulvojon, estas "mallongita" kaj montras kurba^jojn anstataü pintoj. Ma^shoj nur videblas, se la desegnanta punkto elstaras trans la cirkla periferio, kvazaü nia lampeto estus alfiksita sur bastoneto elstara super la rado. (Sed veturi oni per tia rado nur povus rektproksime apud abismo.) Tiujn bildojn montras la antaüa pagho (reiru!). Sed sur ^ci tiu nia nuna p^gho oni vidas la figurojn, kiujn montras marko sur cirklo, kiu rondiras la randon de alia cirklo aü eksterne (epicikloidoj) aü interne (hipocikloidoj). Ili aspektas diverse laü la rilato inter la radiusoj de la surveturata cirklo (R) kaj de la rondiranta cirklo (r) kaj laü la distanco (a) de la desegnanta punkto de la diametro. Akurate dirate: de la rilato inter a kaj r. Do la variaj grandoj povas esti R : r kaj a : r. Ankaü ^ce la rondirantaj "pericikloidoj" oni rimarkas pintojn tu^santajn la periferion, se r samas a, rondigitajn kurba^jojn anstataü la pintoj, kiuj ne atingas la periferion, se r estas pli granda ol a, kaj ma^sojn, kiuj transiras la periferion eksteren, se a estas pli granda ol r.
La sekvonta pa^go montros alian tipon de rondirantaj cirkloj, kiuj ne la periferion de alia cirklo uzas kiel siajn kurvojon.